Tipos de Fractais

 

Recordemos o que se passava no capítulo Caos em relação à equação x_n+1 = rx_n(1-x_n). Para um qualquer x_n obtíamos x_n+1 como valor de saída que por sua vez iria servir como valor de entrada no cálculo seguinte. Podemos imaginar esta operação como um fenómeno de feed-back em que um determinado aparelho executa sobre os dados que lhe são fornecidos, uma série de operações, transformando-os, de acordo com um conjunto de regras estabeleci­das e produzindo um resultado de saída. São estas técnicas recur­sivas e iterativas que estão na base da produção de imagens fractais.

Tomemos agora um outro exemplo, imaginando  uma  máquina  fotocopiadora que  possuíria  tantas  lentes  quantas pretendessemos e em que cada uma executaria  sobre  a  imagem  a  fotocopiar,determinada operação, seja de ampliação, rotação,  translacção  etc., produzindo assim  uma imagem de  saída alterada em relação  à imagem inicial através desse conjunto  de  operações.  De  seguida,iríamos colocar essa imagem final como imagem  inicial e  operar sobre  ela as mesmas  transformações  que   haviamos efectuado anteriormente e repetir este fenómeno de feed-back  um número muito grande de vezes. Podemos, ao contrário

do que se  possa   pensar, afirmar que, desde  que  esse  cojunto de operações obedecesse a  algumas  regras  simples, obteríamos uma imagem, com determinados contornos  específicos  e  limitados, e dependente  apenas das operações executadas e não da imagem inicial. No caso da fig. 4 estaríamos a usar um conjunto de três lentes em que cada uma reduziria a  imagem  a  metade do seu tamanho e a copiaria  para um  dos  vértices de  um triângulo equilátero. Como se pode  ver,  qualquer  que seja a palavra ou imagem  inicial,  ao fim  de um  número  relativamente  pequeno  de transformações, obteríamos  um  determinado  padrão independente  dessa  mesma imagem.

Como foi referido,  tais transformações  deverão obedecer  a determinadas regras, nomeadamente a  que obriga que o tamanho da imagem não cresça indefinidamente, ou seja, que para quaisquer dois pontos dessa figura inicial que considerámos,  a  distância entre  eles seja menor,após essa transformação.

Podemos agora imaginar um grande número de diferentes operações a efectuar por um número ilimitado de  lentes, produ­zindo portanto um sem número de diferentes padrões.

Naturalmente que este método de produzir fractais não é de todo, prático. É aqui que entra em jogo o papel da matemática e dos computadores. Iremos usar a primeira com os seus sistemas de equações que irão simular as diferentes operações a efectuar, e os segundos, com a sua velocidade de processamento e capacidades gráficas.

Devemos reparar que neste exemplo, as transformações efec­tuadas não distorcem propriamente a imagem. As posições relativas entre cada ponto que constitui a palavra 'fractal', mantêm-se constantes o que em linguagem matemática seria o equivalente a dizer que as transformações teriam sido lineares, por incluirem apenas termos de primeira ordem, ou seja, as linhas que eram inicialmente rectas, continuarão a sê-lo. Este tipo de fractais é frequentemente utilizado para representar objectos como por exemplo fetos e árvores dada, como foi referida, a semelhança entre estes e os ramos que os constituem. Além disso, as técnicas usadas para os produzir, podem ser eficientemente usadas na compressão de imagens. As transformações anteriormente referidas, são definidas através de um reduzido número de índices contido numa matriz, pelo que bastar-nos-á, para uma determinada imagem, encontrar os índices das transformações que a produzirão. Podemos em seguida guardar apenas esses índices e posteriormente usá-los para a reconstituir utilizando o método inverso do usado para os encontrar.

Falámos até agora, de transformações lineares, pelo que, podemos desde já prever a existência de não-lineares. Neste caso, os objectos irão sofrer não só operações de rotação, translacção e redução, como podem ainda ser distorcidos. Este tipo de frac­tais geram imagens fantásticas de uma riqueza e diversidade de motivos enorme. Encontram-se neste tipo, os conhecidos e intri­gantes conjuntos de Julia com a sua beleza extraórdinária, que mais não são do que um conjunto de sucessivas distorções. No entanto, na prática, os conceitos de rotação, translacção, deformação etc., não serão usadas de uma forma directa na sua produção, como veremos na secção seguinte, sendo aliás de refer­ir, que a abordagem nestes termos é bastante recente, se bem que importante, uma vez que integra o que anteriormente eram consid­erados fractais de diferentes tipos.

Seja como for, os dois tipos de fractais até agora referi­dos, possuem uma característica em comum, que é o facto de serem determinísticos, ou seja, a imagem que obteremos, está à partida determinada pelo conjunto de operações que definimos. De referir no entanto, que por vezes, a fim de acelerar a produção deste tipo de fractais poderemos socorrer-nos de técnicas que envolvem números aleatórios mas que nem por isso irão afectar as características da imagem final.

Por oposição, temos os fractais aleatórios, que conjunta­mente com os determinísticos constituem os dois grandes tipos de fractais que conhecemos.

Assim, abrimos agora lugar ao imprevisível. Podem ser várias as maneiras de os produzir, bem como, assumir aspectos muito diversos. Vejamos resumidamente duas técnicas diferentes entre si, mas que produzem igualmente imagens fractais do tipo aleatório.

No primeiro caso, imagine-se um triângulo ao qual vamos unir os pontos médios de cada lado, produzindo assim quatro novos triângulos mais pequenos que o original. Cada ponto médio, é então deslocado do plano em que se encontra, para baixo ou para cima, de forma aleatória, e este mesmo processo é por sua vez, sucessivamente aplicado a cada um dos novos triângulos mais pequenos (fig. 5.a). Após algumas operações começaremos a obter um objecto cujos contornos se vão a pouco e pouco definindo. Poderemos então adaptá-lo, por forma a vir a servir de modelo a um determinado objecto natural, digamos, uma montanha (fig. 5.b). Para tal, usaríamos diversas tècnicas, nomeadamente colorindo-o, ou fazendo com que os números aleatórios seguissem uma determina­da distribuição o que provocaria por exemplo, uma maior ou menor rugosidade da figura obtida.

 

 

No segundo caso, imagine-se um ponto central, e uma circun­ferência de qualquer raio, à sua volta. Seguidamente, cria-se aleatóriamente dentro dessa circunferência, um outro ponto que se vai movimentar de forma igualmente aleatória e que só parará, ou quando sair da circunferência, extinguindo-se, ou então, quando chocar com um outro ponto, ( inicialmente será apenas com o ponto central ) 'colando-se' a esse ponto já existente. De imediato, é gerado novamente um outro ponto, igualmente numa posição aleatória dentro da circunferência, que se deslocará até que mais uma vez, suceda uma das duas situações anteriores. Caso volte a chocar com o conjunto de pontos já existente, imobilizar-se-á e passará a fazer parte desse 'agregado'. Caso venha a sair fora da circunferência, esse ponto desaparecerá.Em qualquer dos casos,  um novo ponto será gerado, repetindo-se o processo indefinida­mente. Ao fim de algum tempo, obteríamos uma figura constituindo um agregado fractal, possuindo características típicamente frac­tais, nomeadamente a sua dimensão, e que poderia por exemplo servir de modelo para o crescimento de dendrites, tendo a este processo sido dado o nome de DLA (diffusion-limited agregation), do qual a fig. 6.a e 6.b são um exemplo.

 

 

Os fractais aleatórios em geral, prestam-se para serem usados como modelos de inúmeros fenómenos naturais, como paisa­gens, núvens, etc., e podem ser gerados segundo uma grande diver­sidade de técnicas que no fundo têm em comum o facto de, não só produzirem objectos com características fractais mas também, o de conterem em si uma componente aleatória.