Tipos de Fractais
Tomemos agora um outro exemplo, imaginando uma máquina fotocopiadora que possuíria tantas lentes quantas pretendessemos e em que cada uma executaria sobre a imagem a fotocopiar,determinada operação,seja de ampliação, rotação, translação etc., produzindo assim uma imagem de saída alterada em relação à imagem inicial através desse conjunto de operações. De seguida,iríamos colocar essa imagem final como imagem inicial e operar sobre ela as mesmas transformações que havíamos efectuado anteriormente e repetir este fenómeno de feed-back um número muito grande de vezes. Podemos, ao contrário do que se possa pensar, afirmar que, desde que esse conjunto de operações obedecesse a algumas regras simples, obteríamos uma imagem, com determinados contornos específicos e limitados, e dependente apenas das operações executadas e não da imagem inicial. No caso da fig. 4 estaríamos a usar um conjunto de três lentes em que cada uma reduziria a imagem a metade do seu tamanho e a copiaria para um dos vértices de um triângulo equilátero. Como se pode ver, qualquer que seja a palavra ou imagem inicial, ao fim de um número relativamente pequeno de transformações, obteríamos um determinado padrão independente dessa mesma imagem.
Como foi referido, tais transformações deverão obedecer a determinadas regras, nomeadamente a que obriga que o tamanho da imagem não cresça indefinidamente, ou seja, que para quaisquer dois pontos dessa figura inicial que considerámos, a distância entre eles seja menor,após essa transformação.
Podemos agora imaginar um grande número de diferentes operações a efectuar por um número ilimitado de lentes, produzindo portanto um sem número de diferentes padrões.
Naturalmente que este método de produzir fractais não é de todo, prático. É aqui que entra em jogo o papel da matemática e dos computadores. Iremos usar a primeira com os seus sistemas de equações que irão simular as diferentes operações a efectuar, e os segundos, com a sua velocidade de processamento e capacidades gráficas.
Devemos reparar que neste exemplo, as transformações efectuadas não distorcem propriamente a imagem. As posições relativas entre cada ponto que constitui a palavra 'fractal', mantêm-se constantes o que em linguagem matemática seria o equivalente a dizer que as transformações teriam sido lineares, por incluirem apenas termos de primeira ordem, ou seja, as linhas que eram inicialmente rectas, continuarão a sê-lo. Este tipo de fractais é frequentemente utilizado para representar objectos como por exemplo fetos e árvores dada, como foi referida, a semelhança entre estes e os ramos que os constituem. Além disso, as técnicas usadas para os produzir, podem ser eficientemente usadas na compressão de imagens. As transformações anteriormente referidas, são definidas através de um reduzido número de índices contido numa matriz, pelo que bastar-nos-á, para uma determinada imagem, encontrar os índices das transformações que a produzirão. Podemos em seguida guardar apenas esses índices e posteriormente usá-los para a reconstituir utilizando o método inverso do usado para os encontrar.
Falámos até agora, de transformações lineares, pelo que, podemos desde já prever a existência de não-lineares. Neste caso, os objectos irão sofrer não só operações de rotação, translacção e redução, como podem ainda ser distorcidos. Este tipo de fractais geram imagens fantásticas de uma riqueza e diversidade de motivos enorme. Encontram-se neste tipo, os conhecidos e intrigantes conjuntos de Julia com a sua beleza extraordinária, que mais não são do que um conjunto de sucessivas distorções. No entanto, na prática, os conceitos de rotação, translacção, deformação etc., não serão usadas de uma forma directa na sua produção, como veremos na secção seguinte, sendo aliás de referir, que a abordagem nestes termos é bastante recente, se bem que importante, uma vez que integra o que anteriormente eram considerados fractais de diferentes tipos.
Seja como for, os dois tipos de fractais até agora referidos, possuem uma característica em comum, que é o facto de serem determinísticos, ou seja, a imagem que obteremos, está à partida determinada pelo conjunto de operações que definimos. De referir no entanto, que por vezes, a fim de acelerar a produção deste tipo de fractais poderemos socorrer-nos de técnicas que envolvem números aleatórios mas que nem por isso irão afectar as características da imagem final.
Por oposição, temos os fractais aleatórios, que conjuntamente com os determinísticos constituem os dois grandes tipos de fractais que conhecemos.
Assim, abrimos agora lugar ao imprevisível. Podem ser várias as maneiras de os produzir, bem como, assumir aspectos muito diversos. Vejamos resumidamente duas técnicas diferentes entre si, mas que produzem igualmente imagens fractais do tipo aleatório.
No primeiro caso, imagine-se um triângulo ao qual vamos unir os pontos médios de cada lado, produzindo assim quatro novos triângulos mais pequenos que o original. Cada ponto médio, é então deslocado do plano em que se encontra, para baixo ou para cima, de forma aleatória, e este mesmo processo é por sua vez, sucessivamente aplicado a cada um dos novos triângulos mais pequenos (fig. 5.a). Após algumas operações começaremos a obter um objecto cujos contornos se vão a pouco e pouco definindo. Poderemos então adaptá-lo, por forma a vir a servir de modelo a um determinado objecto natural, digamos, uma montanha (fig. 5.b). Para tal, usaríamos diversas tècnicas, nomeadamente colorindo-o, ou fazendo com que os números aleatórios seguissem uma determinada distribuição o que provocaria por exemplo, uma maior ou menor rugosidade da figura obtida.
No segundo caso, imagine-se um ponto central, e uma circunferência de qualquer raio, à sua volta. Seguidamente, cria-se aleatóriamente dentro dessa circunferência, um outro ponto que se vai movimentar de forma igualmente aleatória e que só parará, ou quando sair da circunferência, extinguindo-se, ou então, quando chocar com um outro ponto, ( inicialmente será apenas com o ponto central ) 'colando-se' a esse ponto já existente. De imediato, é gerado novamente um outro ponto, igualmente numa posição aleatória dentro da circunferência, que se deslocará até que mais uma vez, suceda uma das duas situações anteriores. Caso volte a chocar com o conjunto de pontos já existente, imobilizar-se-á e passará a fazer parte desse 'agregado'. Caso venha a sair fora da circunferência, esse ponto desaparecerá.Em qualquer dos casos, um novo ponto será gerado, repetindo-se o processo indefinidamente. Ao fim de algum tempo, obteríamos uma figura constituindo um agregado fractal, possuindo características típicamente fractais, nomeadamente a sua dimensão, e que poderia por exemplo servir de modelo para o crescimento de dendrites, tendo a este processo sido dado o nome de DLA(diffusion-limited agregation), do qual a fig. 6.a e 6.b são um exemplo.
Os fractais aleatórios em geral, prestam-se para serem usados como modelos de inúmeros fenómenos naturais, como paisagens, núvens, etc., e podem ser gerados segundo uma grande diversidade de técnicas que no fundo têm em comum o facto de, não só produzirem objectos com características fractais mas também, o de conterem em si uma componente aleatória.